平面向量

这里记录一些高中数学平面向量实用的解题技巧。

梅涅劳斯定理

如果一直线顺次与三角形$ABC$的三边$AB$、$BC$、$CA$或其延长线交于$M$、$N$、$K$三点，则：
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CK}{KA}=1\end{array}$$

证明：过顶点$B$作$AC$的平行线与截线交于$F$，则有：
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{AM}{MB}=\frac{AK}{BF}，\frac{BN}{NC}=\frac{BF}{CK}\end{array}$$
故：
$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC}\cdot \frac{CK}{KA}=\frac{AK}{BF}\cdot \frac{BF}{CK}\cdot \frac{CK}{KA}=1\end{array}$$

奔驰定理

$$\begin{array}{}\text{(4)}& x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\iff x:y:z=S_{\mathrm{\Delta }BOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOB}\end{array}$$
（1）$O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的重心
$$\begin{array}{}\text{(5)}& \iff S_{\mathrm{\Delta }BOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOB}=1:1:1\iff \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\end{array}$$
（2）$O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的内心
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \iff S_{\mathrm{\Delta }BOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOB}=a:b:c\iff a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\end{array}$$
（3）$O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的外心
$$\begin{array}{}\text{(7)}& \iff S_{\mathrm{\Delta }BOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOB}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C\iff \sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\end{array}$$
（4）$O$是$\mathrm{\Delta }ABC$的垂心
$$\begin{array}{}\text{(8)}& \iff S_{\mathrm{\Delta }BOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOC}:S_{\mathrm{\Delta }AOB}=\tan A:\tan B:\tan C\iff \tan A\overrightarrow{OA}+\tan B\overrightarrow{OB}+\tan C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\end{array}$$