平面向量

这里记录一些高中数学平面向量实用的解题技巧。

梅涅劳斯定理

如果一直线顺次与三角形$ABC$的三边$AB$、$BC$、$CA$或其延长线交于$M$、$N$、$K$三点，则：
$$
\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CK}{KA}=1
$$

证明：过顶点$B$作$AC$的平行线与截线交于$F$，则有：
$$
\frac{AM}{MB}=\frac{AK}{BF}，\frac{BN}{NC}=\frac{BF}{CK}
$$
故：
$$
\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CK}{KA}=\frac{AK}{BF}\cdot \frac{BF}{CK} \cdot \frac{CK}{KA}=1
$$

奔驰定理

$$
x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}=\vec0 \Leftrightarrow x:y:z=S_{\Delta BOC}:S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}
$$
（1）$O$是$\Delta ABC$的重心
$$
\Leftrightarrow S_{\Delta BOC}:S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}=1:1:1 \Leftrightarrow \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec0
$$
（2）$O$是$\Delta ABC$的内心
$$
\Leftrightarrow S_{\Delta BOC}:S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}=a:b:c \Leftrightarrow a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}=\vec0
$$
（3）$O$是$\Delta ABC$的外心
$$
\Leftrightarrow S_{\Delta BOC}:S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C \Leftrightarrow \sin 2A\vec{OA}+\sin 2B\vec{OB}+\sin 2C\vec{OC}=\vec0
$$
（4）$O$是$\Delta ABC$的垂心
$$
\Leftrightarrow S_{\Delta BOC}:S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}=\tan A:\tan B:\tan C \Leftrightarrow \tan A\vec{OA}+\tan B\vec{OB}+\tan C\vec{OC}=\vec0
$$