佛脚

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明天要去海南了，虽然抱着玩的心态，但还是抱一下佛脚>_<……

代数

  • 立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
  • 立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
  • $\boldsymbol{a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})}$（n为正整数）
  • $\boldsymbol{a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})}$（n只能是奇数！）
  • $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
  • $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
  • $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

泰勒展开

$f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots$

$f(x)=f(0)+f’(0)x+r$

$f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+r$

$\boldsymbol{e^x=1+x+r}$

$\boldsymbol{e^x=1+x+\frac12x^2+r}$（有用）

$\boldsymbol{\ln (1+x)=x+r}$

$\boldsymbol{\ln (1+x)=x-\frac12x^2+r}$（不常用）

平面几何

  • 角平分线定理及其逆定理（略）

  • 在$Rt\Delta ABC$中，$C$为直角，内角$A,B,C$所对的边分别是$a，b，c$，则$\Delta ABC$的内切圆半径为$\frac{a+b-c}2$

五心

重心：三角形中线的交点

  1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为$2:1$

  2. 重心与三顶点的连线所构成的$3$个三角形面积相等

  3. 重心到三角形$3$个顶点距离平方的和最小，到三边距离之积最大。

  4. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即$(\frac{(x_1+x_2+x_3)}3,\frac{(y_1+y_2+y_3)}3)$

  5. M为ABC重心，则$\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=0$.

内心：三角形角平分线的交点

  1. 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

  1. 如图，$I$为内心，$AP=AR=(b+c-a)/2$，$BP=BQ=(a+c-b)/2$，$CQ=CR=(a+b-c)/2$，且$\boldsymbol{r=\frac{(b+c-a)\tan(\frac{A}2)}2=\frac{2S}{C}}$.

外心：三角形三条边垂直平分线的交点

  1. 三角形的外心是它的中点三角形的垂心

  2. $\boldsymbol{R=\frac{abc}{4S}}$，$\boldsymbol{\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R}$.

垂心：三角形三条高的交点

  1. 三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
  2. 垂心$H$关于三边的对称点，均在$\Delta ABC$的外接圆上
  3. 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的$2$倍.
  4. P为垂心，则$\vec{PA} \cdot \vec{PB}=\vec{PB} \cdot \vec{PC}=\vec{PC} \cdot \vec{PA}$.
  5. 西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上.

旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

三角函数

  • 正弦平方差公式：$\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta=\sin (\alpha-\beta)\sin (\alpha+\beta)$

  • 在△ABC中：sinA＞sinB的充要条件是A＞B，cosA＞cosB的充要条件是A＜B

  • 在非直角三角形内，都有$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$

  • 推论：在 $\Delta ABC$ 内，若$\tan A+\tan B+\tan C<0$，则 $\Delta ABC$ 为钝角三角形

  • $$
    \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}2 \cos\frac{A-B}2 \
    \sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}2 \sin\frac{A-B}2 \
    \cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}2 \cos\frac{A-B}2 \
    \cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}2 \sin\frac{A-B}2
    $$

平面向量

极化恒等式

$$
\boldsymbol{\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac14[(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2]}
$$