数列与不等式技巧

发表于 2020-04-28 更新于 2023-09-10 分类于 academic Waline：阅读次数：

Ⅰ.不动点法

求分式通项

利用不动点法求形如 $a_{n} = \frac{a a_{n - 1} + b}{c a_{n - 1} + d}$ 的通项公式的方法：

①令 $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d} = x$ ，并解出方程的根即为不动点 $x_{1} = p_{1}$ ， $x_{2} = p_{2}$ .

②构造数列

$i .$ 当 $p_{1} \neq p_{2}$ （参见 $e . g . 2$ ），可以构造为如下形式：

$$
\frac{a_n-p_1}{a_n-p_2}=\frac{\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}-p_1}{\frac{aa_{n-1}+b}{ca_{n-1}+d}-p_2}

化简后得到一个等比数列 ${\frac{a_{n} - p_{1}}{a_{n} - p_{2}}}$ 的递推公式：

$$
\frac{a_n-p_1}{a_n-p_2}=k\frac{a_{n-1}-p_1}{a_{n-1}-p_2}

由此可求出

$$
\frac{a_n-p_1}{a_n-p_2}=\frac{a_1-p_1}{a_1-p_2}k^{n-1}

$i i .$ 当 $p_{1} = p_{2}$ ，参见 $e . g . 1$ .

e. g. 1

$a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}}$

$x = \frac{1}{2 - x}$

$2 x - x^{2} = 1 ∴ x = 1$

$a_{n + 1} - 1 = \frac{1}{2 - a_{n}} - 1 = \frac{a_{n} - 1}{2 - a_{n}}$

取倒数 $\frac{1}{a_{n + 1} - 1} = \frac{2 - a_{n}}{a_{n} - 1} = \frac{1}{a_{n} - 1} - 1$

$∴ \frac{1}{a_{n} - 1} = \frac{1}{a_{1} - 1} - (n - 1)$ （等差数列）

e. g. 2

$a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} - 1}{2 + a_{n}}$

$x = \frac{2 x - 1}{2 + x} \Rightarrow x = \pm i$

$∴ a_{n + 1} - i = \frac{2 a_{n} - 1}{2 + a_{n}} - i = \frac{(2 - i) a_{n} - 1 - 2 i}{2 + a_{n}}$

$∴ a_{n + 1} - i = \frac{(2 - i) (a_{n} - i)}{2 + a_{n}} \dots ①$

$∴ a_{n + 1} + i = \frac{(2 + i) (a_{n} + i)}{2 + a_{n}} \dots ②$

$\frac{①}{②} \Rightarrow \frac{a_{n + 1} - i}{a_{n + 1} + i} = \frac{2 - i}{2 + i} \cdot \frac{a_{n} - i}{a_{n} + i}$

$∴ \frac{a_{n} - i}{a_{n} + i} = \frac{1 - i}{1 + i} \cdot (\frac{2 - i}{2 + i})^{n - 1}$ （等比数列）

取对数法

$b_{n+1}=qb^{p}_{n}$

Ⅱ.放缩法

（更新于2020/5/9）

常见的放缩技巧

（1） $\frac{1}{n (n + 1)} < \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n^{2} - 1} < \frac{1}{n (n - 1)}$

（2） $\frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \frac{2}{\sqrt{n - 1} + \sqrt{n}}$

$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ .

（3） $\frac{1}{2^{n} + 1} < \frac{1}{2^{n}}$ ， $\frac{1}{2^{n} - 1} \leq \frac{1}{2^{n - 1}}$

（4） $\frac{1}{n^{3}} < \frac{1}{n (n^{2} - 1)} = \frac{1}{(n - 1) n (n + 1)} = [\frac{1}{(n - 1) n} - \frac{1}{n (n + 1)}] \cdot \frac{1}{2}$

（5） $(1 + r)^{n} \geq 1 + n r$ （二项式定理）

（6） $\ln (1 + x) < x$ ， $1 + x < e^{x}$ （结合图象证明， $x$ 可替换）

（7） $\frac{x - 1}{x} \leq \ln x \leq x - 1$ ， $\frac{1}{x + 1} \leq \ln (1 + \frac{1}{x}) \leq \frac{1}{x}$ （前者结合图象证明，后者替换 $x$ ）

（8） $x \geq \sin x (x \geq 0)$

（9） $\ln (1 + \frac{1}{n}) + \frac{1}{n^{3}} > \frac{1}{n^{2}}$

（以下更新于2020/8/1）

（10） $\sqrt{n (n + 1)} < n + \frac{1}{2}$ （均值放缩）

（11） $\frac{2^{n}}{(2^{n} - 1) (2^{n + 1} - 1)} = \frac{1}{2^{n} - 1} - \frac{1}{2^{n + 1} - 1}$

（12） $\ln (x + 1) - \ln x \leq \frac{1}{x}$ （由（7）得）

（13） $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} < \ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ （由（7）得）

（14） $\ln 2 \cdot \ln 3 \dots \ln n \geq \frac{1}{n}$ （还是由（7）得）

实战♂演练

数学归纳法

【例】求证： $\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{3 n}{3 n - 1} > \sqrt[3]{\frac{3 n + 2}{2}}$ .

解: 当 $n = 1$ ， $\frac{3}{2} > \sqrt[3]{\frac{5}{2}}$ .

设 $n = k$ 时，不等式成立，则 $\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{3 k}{3 k - 1} > \sqrt[3]{\frac{3 k + 2}{2}}$ .

当 $n = k + 1$ ， $\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} \dots \frac{3 k}{3 k - 1} \cdot \frac{3 k + 3}{3 k + 2} > \sqrt[3]{\frac{3 k + 2}{2}} \cdot \frac{3 k + 3}{3 k + 2} = \sqrt[3]{\frac{(3 k + 3)^{3}}{2 (3 k + 2)^{2}}} > \sqrt[3]{\frac{3 k + 5}{2}}$ .（最后一步可用三项均值不等式）

$∴$ 对于一切 $n \in N$ 不等式成立.

利用上一问结论证明下一问不等式

【例】已知函数 $f (x) = \ln x + 1$ .

（1） $f (x) \leq k x$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

（2）证明： $\ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$

解: 由（1）得， $\ln x \leq x - 1$ .

$∴ \ln \frac{n + 1}{n} < \frac{n + 1}{n} - 1$

$\ln (n + 1) - \ln n < \frac{1}{n}$

累加，证毕。